O advérbio "alegremente" modifica o sentido do verbo "participamos".
Advérbios
Trata-se de palavras invariáveis que modificam o sentido de verbos, adjetivos ou outros advérbios, indicando circunstâncias, como tempo, modo, lugar, intensidade, afirmação, negação, dúvida, causa.
No caso de "alegremente", a circunstância expressa é de modo. Esse advérbio tem sentido equivalente à locução adverbial "de modo alegre". Ele indica a maneira como se deu a ação de participar.
Note que é um termo acessório, ou seja, não é essencial para a estrutura da oração. Poderia ser removido sem prejudicar a compreensão ("Participamos da caminhada").
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