Usando:
- diferentes processos de racionalizar denominador de fração
- produto notável " diferença de dois quadrados "
obtém-se:
[tex]\dfrac{2\sqrt{2} +2 -\sqrt{12} }{8}[/tex]
Para racionalizar este denominador temos que , num primeira etapa,
multiplicar pelo conjugado, quer o numerador quer o denominador da
fração.
Observação 1 → Conjugado de uma expressão
Quando se tem a expressão ( 3 +√7 ) o conjugado será a expressão que
mantém o valor que não é radical e muda o sinal do radical.
Assim o conjugado de ( 3 + √7 ) é ( 3 - √7 )
Pegamos em ( 2 + √2 + √6 ) e agrupamos os dois primeiros valores.
( 2 + √2 ) + √6.
Assim o conjugado será ( 2 + √2 ) - √6
[tex]\dfrac{1}{2+\sqrt{2}+\sqrt{6} }=\dfrac{1}{(2+\sqrt{2})+\sqrt{6} }[/tex]
[tex]=\dfrac{1*(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{[(2+\sqrt{2})+\sqrt{6}]*[(2+\sqrt{2})-\sqrt{6}] }[/tex] ( A )
[tex]=\dfrac{(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{[(2+\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2] }=\dfrac{(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{2^2+2*2*\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 -6 }[/tex] ( B )
[tex]=\dfrac{(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{4+4\sqrt{2}+2 -6 }=\dfrac{(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{6-6+4\sqrt{2} }=\dfrac{(2+\sqrt{2})-\sqrt{6} }{4\sqrt{2} }[/tex]
Agora no denominador temos 4√2.
Para racionalizar esta fração basta multiplicar o numerador e o
denominador por √2.
[tex]=\dfrac{[(2+\sqrt{2})-\sqrt{6}]*\sqrt{2} }{4\sqrt{2}*\sqrt{2}}=\dfrac{2*\sqrt{2} +\sqrt{2}*\sqrt{2} -\sqrt{6}*\sqrt{2} }{4\sqrt{2}*\sqrt{2}}[/tex]
[tex]=\dfrac{2\sqrt{2} +(\sqrt{2})^2 -\sqrt{6*2} }{4(\sqrt{2})^2}}=\dfrac{2\sqrt{2} +2 -\sqrt{12} }{4*2}[/tex]
[tex]=\dfrac{2\sqrt{2} +2 -\sqrt{12} }{8}[/tex]
O denominador já não tem radicais, por isso está racionalizado.
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Explicação de cálculos intermédios
( A )
Observação 2 → Diferença de dois quadrados
[tex][(2+\sqrt{2})+\sqrt{6}]*[(2+\sqrt{2})-\sqrt{6}] }[/tex]
Este é um produto notável: " Diferença de dois quadrados "
Quando temos, genericamente:
[tex]a^2-b^2[/tex] diferença de dois quadrados , o seu desenvolvimento é:
( base do 1º quadrado + base do 2º quadrado ) *
* ( base do 1º quadrado - base do 2º quadrado )
[tex]a^2-b^2 = ( a + b ) * ( a-b)[/tex]
Mas não podemos esquecer que se temos
[tex]( a + b ) * ( a-b)[/tex]
isto é igual a [tex]a^2-b^2[/tex]
Por isso
[tex]{[(2+\sqrt{2})+\sqrt{6}]*[(2+\sqrt{2})-\sqrt{6}] }[/tex] = [tex](2+\sqrt{2})^2-(\sqrt{6})^2[/tex]
↓ ↓
( a + b ) * ( a - b )
( B )
Observação 3 → Quadrado de uma soma
É outro caso notável aqui e o seu desenvolvimento é:
mais
- o dobro do produto do 1º pelo 2º termo
mais
quadrado do 2º termo
Exemplo:
[tex](2+\sqrt{2})^2=}{2^2+2*2*\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2[/tex]
Bons estudos.
Att: Duarte Morgado
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( * ) multiplicação
Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
