Respondido

No conjunto de números reais a equação exponencial 2^x+2 + 8x= 4^x+1 possui

Resposta :

RAFAMES1000GO

Resposta:

[tex]x=1[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex]2^{x+2} +8^{x} =4^{x+1}[/tex]

Expandir:

[tex]2^{x} .2^{2} +(2^{3} )^{x} =(2^{2}) ^{x} .2^{2}[/tex]

Reescrever a equação com [tex]2^{x} =u[/tex]

[tex]u.2^{2} +u^{3} =u^{2} .2^{2}[/tex]

Subtrair [tex]u^{2} .2^{2}[/tex] de ambos os lados:

[tex]u.2^{2} +u^{3}-u^{2}.2^{2} =u^{2} .2^{2}-u^{2} .2^{2}[/tex]

Simplificar:

[tex]4u+u^{3} -4u^{2} =0[/tex]

Fatorar [tex]4u+u^{3} -4u^{2}[/tex] como [tex]u(u-2)^{2}[/tex]

[tex]u(u-2)^{2}=0[/tex]

Utilizar o princípio do fator zero: Se ab = 0 então a = 0 ou b = 0:

a = u

b = u - 2

u = 0

u - 2 = 0

u = 2

Reescrever a equação com [tex]u=2^{x}[/tex]

[tex]2^{x} =0[/tex]

x∉R

[tex]2^{x} =2[/tex]

[tex]2^{x} =2^{1}[/tex]

[tex]x=1[/tex]

MATEMATICMAN314GO

Tal equação tem apenas 1 raiz que é x = 1.

[tex]\dotfill[/tex]

A raiz de uma equação de uma incógnita é o valor que esta assume para que a identidade se torne verdadeira. Para encontrar a raiz, no entanto, existem diferentes técnicas a depender do tipo da equação (1º grau, 2º grau, exponencial, ...)

Para a equação proposta na tarefa, podemos fazer a substituição 2ˣ = y. Veja:

2^(x+2) + 8ˣ = 4^(x+1)

2ˣ . 2²  + (2ˣ)³ = (2ˣ)² . 2²

4y + y³ = y² . 4

y³ - 4y² + 4y  = 0

y . ( y² - 4y + 4) = 0

Como o produto entre y e ( y² - 4y + 4) é zero, um dos fatores é zero. Logo y = 0 ou y² - 4y + 4 = 0 ⇒ (y - 2)² = 0  ⇒ y = 2. Assim,

  • 2ˣ = 0 ⇒ x não é real
  • 2ˣ = 2 ⇒ x = 1

Logo, tal equação tem apenas 1 raiz, que é x = 1.

[tex]\dotfill[/tex]

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