Resposta:
1) b) [tex]x'=1\text{ e }x''=\frac{1}{2}[/tex]
2) a) [tex]\frac{3}{4} \text{ e } -\frac{1}{8}[/tex]
3) b) ponto de mínimo.
Explicação passo a passo:
Questão I:
[tex]f(x)=2x^2-3x+1[/tex]
onde: [tex]a=2;b=-3\text{ e }c=1[/tex].
Analisando o discriminante ([tex]\Delta[/tex]):
[tex]\Delta = b^2-4\cdot a \cdot c\\\\\Delta = (-3)^2 - 4\cdot 2 \cdot 1\\\\\Delta = 9 - 8\\\\\Delta = 1[/tex]
Como [tex]\Delta > 0[/tex], a equação possui duas raízes reais e distintas. Calculando as raízes [tex]x'[/tex] e [tex]x''[/tex] pela fórmula de Bháskara:
[tex]x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot 2}\\\\x=\frac{3\pm1}{4}[/tex]
[tex]x'=\frac{3-1}{4}\\\\x'=\frac{2}{4}\\\\x'=\frac{1}{2}\\\\\\x''=\frac{3+1}{4}\\\\x''=\frac{4}{4}\\\\x''=1[/tex]
Portanto:
Letra b.
Questão II:
As coordenadas do vértice podem ser obtidas pelo seguinte par ordenado:
[tex]V=(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})[/tex]
Como essa é a mesma função da primeira questão, então aproveitaremos o cálculo do discriminante ([tex]\Delta[/tex]).
Para [tex]V_x[/tex]:
[tex]V_x=-\frac{b}{2a}\\\\V_x=-\frac{-3}{2\cdot2}\\\\V_x=-(-\frac{3}{4})\\\\V_x=\frac{3}{4}[/tex]
Para [tex]V_y[/tex]:
[tex]V_y=-\frac{\Delta}{4a}\\\\V_y=-\frac{1}{4\cdot2}\\\\V_y=-\frac{1}{8}[/tex]
Portanto as coordenadas do vértice são: [tex]V(\frac{3}{4};-\frac{1}{8})[/tex].
Letra a.
Questão III:
Note que o valor de [tex]a[/tex], conforme observado na Questão I, é positivo ([tex]a=2[/tex]).
Como [tex]a>0[/tex], então temos que a função tem a concavidade voltada para cima e, portanto, possui ponto de mínimo.
Letra b.
