⠀⠀A equação do 2º grau apresentada tem coeficiente [tex]a=m=5[/tex], logo ela se situa na forma [tex]5x^2-5x-10=0[/tex], ou ainda, simplificando por 5, se situa na forma [tex]x^2-x-2=0[/tex].
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⠀⠀As relações de Girard numa equação quadrática estabelecem relacionamentos entre seus coeficientes e suas raízes. Veja que, considerando uma equação [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] onde [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] [tex]\in\,\mathbb{R}[/tex] | [tex]a\neq0[/tex], a soma e o produto das raízes [tex]x_1[/tex] e [tex]x_2[/tex] são dados, respectivamente, por:
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[tex]\Large\boldsymbol{\boxed{\begin{array}{c}\\S=x_1+x_2=-\,\dfrac{b}{a}\\\\P=x_1x_2=\dfrac{c}{a}\\\\\end{array}}}[/tex]
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⠀⠀Sabe-se que a equação [tex]mx^2-5x-10=0[/tex] possui raízes [tex]x_1=-\,1[/tex] e [tex]x_2=2[/tex] e desejamos encontrar o valor de [tex]m[/tex] utilizando as supramencionadas relações de Girard. Estaremos utilizando as duas formulas para demonstrar que o resultado é o mesmo para os dois casos, só que fazer em apenas uma das duas já seria necessário. Como a equação proposta tem coeficientes [tex]a=m[/tex], [tex]b=-\,5[/tex] e [tex]c=-\,10[/tex], temos:
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[tex]\Large\begin{array}{c|}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\\\\-\,1+2=\dfrac{-(-\,5)}{m}\\\\1=\dfrac{5}{m}\\\\1\cdot m=5\\\\\!\boxed{m=5}\end{array}\Large\begin{array}{c}x_1x_2=\dfrac{c}{a}\\\\-\,1\cdot2=\dfrac{-\,10~~}{m}\\\\2\cdot m=10\\\\m=\dfrac{10}{2}\\\\\!\boxed{m=5}\end{array}[/tex]
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⠀⠀Conclui-se, portanto, que a equação apresentada é: [tex]5x^2-5x-10=0[/tex], ou ainda, simplificando por 5: [tex]x^2-x-2=0[/tex].
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[tex]\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}[/tex]
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