O volume está diminuindo a uma taxa de cerca de 118,8 pés cúbicos por minuto.
Lembre-se de que o volume de um cilindro é dado por:
[tex] \displaystyle V = \pi r ^ 2h [/tex]
Faça a derivada da equação em relação a t. V, r e h são todas funções de t:
[tex] \displaystyle \frac {dV} {dt} = \pi \frac {d} {dt} \left [r ^ 2h \right] [/tex]
Use a regra do produto e diferencie implicitamente. Por isso:
[tex] \displaystyle \frac {dV} {dt} = \pi \left (2rh \frac {dr} {dt} + r ^ 2 \frac {dh} {dt} \right) [/tex]
Queremos encontrar a taxa na qual o volume do cilindro está mudando quando o raio é de 4 pés e o volume é de 32 pés cúbicos, dado que o raio está crescendo a uma taxa de 2 pés/min e a altura está diminuindo a uma taxa de 3 pés/min.
Em outras palavras, queremos encontrar dV/dt quando r = 4, V = 32, dr/dt = 2 e dh/dt = -3.
Como V = 32 e r = 4, resolva para a altura:
[tex] \begin{gathered}\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi r^2h \\32&=\pi(4)^2h\\32&=16\pi h \\h&=\frac{2}{\pi}\end{aligned}\end{gathered} [/tex]
Substituto:
[tex] \begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned} \frac{dV}{dt}&=\pi\left(2rh\frac{dr}{dt}+r^2\frac{dh}{dt}\right)\\ \\ &\pi\left(2(4)\left(\frac{2}{\pi}\right)\left(2\right)+(4)^2\left(-3\right)\right)\\\\&\pi\left(\frac{32}{\pi}-48\right)\\&32-48\pi = -118,80 \ \frac{ft^3}{min}\end{aligned}\end{gathered} [/tex]
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