Explicação passo a passo:
O cosseno de um ângulo em um triângulo retângulo é o cateto adjacente a esse ângulo dividido pela hipotenusa (hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo, sempre oposto ao maior ângulo - que é de 90º).
[tex]\cos \beta = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}[/tex]
Item a:
[tex]\cos \beta = \frac{6}{8}\\\\\cos \beta = \frac{3}{4}[/tex]
Item b:
Note que nesse caso não sabemos o valor da hipotenusa. Então, chamando esse lado de [tex]x[/tex], utilizaremos o teorema de Pitágoras:
[tex]x^2=a^2+b^2\\x^2=6^2+(6\sqrt{3})^2\\x^2=36+36\times3\\x^2=36+108\\x^2=144\\x=\pm12[/tex]
Como estamos lidando com medidas, então [tex]x=12[/tex].
Agora que sabemos o valor da hipotenusa, podemos aplicar a fórmula do cosseno:
[tex]\cos \beta = \frac{6}{12}\\\\\cos \beta = \frac{1}{2}[/tex]
Item c:
Note que nesse caso não sabemos o valor do cateto adjacente. Chamando esse lado de [tex]a[/tex], utilizaremos o teorema de Pitágoras:
[tex]x^2=a^2+b^2\\12^2=a^2+10^2\\144=a^2+100\\a^2=44\\a=\pm2\sqrt{11}[/tex]
Como estamos lidando com medidas, então [tex]x=2\sqrt{11}[/tex].
Agora que sabemos o valor do cateto adjacente, podemos aplicar a fórmula do cosseno:
[tex]\cos \beta = \frac{2\sqrt{11}}{12}\\\\\cos \beta = \frac{\sqrt{11}}{6}[/tex]
