[tex]\texttt{Ol\'a! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]
Racionalizar um denominador ( parte de baixo ) de uma fração é retirar o radical ( √ ), claro que utilizando-se de operações que possam levar a tal resultado.
Na matemática podemos fazer o que quisermos, desde que as regras não sejam violadas.
Partindo desse pressuposto, vamos analizar a expressão:
[tex]\large \tt \frac{4}{1 - \sqrt{3} } \\[/tex]
Perceba que o problema é essa expressão do denominador com o radical. Já que eu posso fazer qualquer coisa desde que não quebre as regras, posso multiplicar o 1 - √3 pela expressão oposta a ela ( 1 + √3 ), no entanto, se eu multiplicar só o denominador eu estarei alterando o valor da expressão, então irei multiplicar em cima também. Note que estarei multiplicando por 1, e isso não altera nada.
[tex]\large \tt \frac{4}{1 - \sqrt{3} } \cdot \frac{1 + \sqrt{3} }{1 + \sqrt{3} } \\[/tex]
Desenvolvendo a expressão, tem-se que:
[tex]\large \tt \frac{4 \left( 1 + \sqrt{3} \right) }{ \left(1 - \sqrt{3} \right) \cdot\left(1 + \sqrt{3} \right)} \\[/tex]
Observe que na parte de baixo eu tenho uma diferença de quadrados
[tex] \large \tt (a + b)(a - b) = {a}^{2} - {b}^{2} [/tex]
Em que 1 faz papel de a e √3 faz papel de b. Sendo assim, posso simplificar o denominador para somente 1 - 3:
[tex]\large \tt \left(1 - \sqrt{3} \right) \cdot\left(1 + \sqrt{3} \right) = 1 ^{2} - \sqrt{3}^{2} \\ = \large \tt 1 - 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\[/tex]
Então temos que:
[tex]\large \tt \frac{4 \left( 1 + \sqrt{3} \right) }{1 - 3} \\[/tex]
Agora, basta simplificar a expressão
[tex]\large \tt \frac{ \cancel4 ^ {^{^{ - 2}} } \left( 1 + \sqrt{3} \right) }{ \cancel{- 2}} \\[/tex]
Portanto, o resultado da racionalização é:
[tex]\huge\red\therefore\\\huge \red{\underline{\boxed{\tt \xcancel c)- 2 \cdot\left(1 + \sqrt{3} \right) }}}[/tex]
