Toda equação do segundo grau pode ser fatorada da seguinte forma:
[tex]y=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], substituindo o valor das raízes ficamos com:
[tex]y=a(x-0)(x-6)=ax(x-6)[/tex], agora utilizaremos o vértice (ponto mais alto do gráfico) que é [tex](3,9)[/tex], ou seja, quando x é 3 então y é 9.
Substituindo x e y na equação fatorada:
[tex]9=a\cdot3\cdot(3-6)\\9=a\cdot(-9)\\a=-1[/tex]
Sendo assim: [tex]y=-x(x-6)=-x^2+6x[/tex]
Desse modo acabamos de encontrar [tex]a=-1; b=6 \ e \ c =0[/tex].
Esse problema também poderia ser resolvido através de um sistema, pois temos três pontos do gráfico [tex](0,0);(6,0)\ e \ (3,9)[/tex]. Substituindo os valores de x e y na equação dada do enunciado ([tex]y=ax^2+bx+c[/tex]) temos:
[tex]0=a\cdot0^2+b\cdot0+c \rightarrow c=0\\0=a\cdot6^2+b\cdot6+c \rightarrow 36a+6b=0\\9=a\cdot3^2+b\cdot3+c \rightarrow 9a+3b=9[/tex]
Multiplicando a última por 2:
[tex]36a+6b=0\\18a+6b=18[/tex]
Subtraimos:
[tex]18a=-18\\a=-1[/tex]
Substituindo "a=-1" na primeira equação:
[tex]36(-1)+6b=0\\b=6[/tex]
