Olá, bom dia.
Devemos encontrar a área da região limitada pelas curvas [tex]y=x-2[/tex] e [tex]y^2=7-2x[/tex].
Primeiro, lembre-se que a área da região [tex]R[/tex] delimitada por duas curvas [tex]y=f(x)[/tex] e [tex]y=g(x)[/tex], contínuas e integráveis em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], onde [tex]f(x)>g(x)[/tex] é calculado pela integral: [tex]\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}[/tex].
Então, devemos determinar o comportamento destas funções, calculando o intervalo em que a região está compreendida, fazendo:
Substitua [tex]y=x-2[/tex] em [tex]y^2=7-2x[/tex], de modo a calcular os pontos de interseção das curvas
[tex](x-2)^2=7-2x[/tex]
Calcule a potência
[tex]x^2-4x+4=7-2x[/tex]
Subtraia [tex]7-2x[/tex] em ambos os lados da igualdade e some os termos semelhantes
[tex]x^2-2x-3=0[/tex]
Resolvendo esta equação quadrática, facilmente encontramos suas soluções:
[tex]x=-1~~\bold{ou}~~x=3[/tex]
Dessa forma, o intervalo em que esta região está comprometida é [tex][-1,~3][/tex].
Veja na imagem em anexo que, neste intervalo, a reta que representa a função [tex]y=x-2[/tex] tem imagem maior que a parábola que representa [tex]y^2=7-2x[/tex].
Mais especificamente, a porção negativa da parábola. Veja que podemos calcular a raiz quadrada em ambos os lados de forma que tenhamos:
[tex]\sqrt{y^2}=\sqrt{7-2x}\\\\\\ y=\pm~\sqrt{7-2x}[/tex]
A porção superior da parábola representa as soluções positivas dessa igualdade, enquanto a porção inferior, que nos interessa, representa a parte negativa.
Sendo assim, substituímos estes dados na integral:
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^3 x-2-(-\sqrt{7-2x})\,dx}[/tex]
Efetue a propriedade de sinais
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^3 x-2+\sqrt{7-2x}\,dx}[/tex]
Para resolver esta integral, lembre-se:
Aplique a linearidade
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^3 x\,dx-2\cdot\int_{-1}^31\,dx+\int_{-1}^3\sqrt{7-2x}\,dx}[/tex]
Na terceira integral, faça uma mudança de variáveis por substituição: [tex]u=7-2x[/tex]. Diferenciamos ambos os lados da igualdade a fim de substituírmos também o diferencial [tex]dx[/tex].
[tex]\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(7-2x)[/tex]
Lembrando das regras de derivação, aplique a regra da cadeia e da potência
[tex]1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=0-2\cdot 1\cdot x^{1-1}[/tex]
Some os valores nos expoentes e multiplique os termos
[tex]\dfrac{du}{dx}=-2[/tex]
Reescrevemos a expressão da seguinte maneira:
[tex]dx=-\dfrac{du}{2}[/tex]
Quando realizamos uma mudança de variáveis, também alteramos os limites de integração. Veja que quando [tex]x=-1\rightarrow u=9[/tex] e quando [tex]x=3\rightarrow u=1[/tex]. Assim, substituímos esses resultados na integral:
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^3 x\,dx-2\cdot\int_{-1}^31\,dx+\int_{9}^1\sqrt{u}\cdot\left(-\dfrac{du}{2}\right)}[/tex]
Aplique a linearidade e a regra da potência, lembrando que [tex]\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}[/tex] e [tex]1=x^0[/tex]
[tex]\displaystyle{\int_{-1}^3 x\,dx-2\cdot\int_{-1}^31\,dx-\dfrac{1}{2}\cdot\int_{9}^1\sqrt{u}\,du}\\\\\\ \dfrac{x^{1+1}}{1+1}-2\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{-1}^3-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}~\biggr|_{9}^1[/tex]
Some os valores nos expoentes e denominadores e aplique os limites de integração
[tex]\dfrac{x^2}{2}-2x~\biggr|_{-1}^3-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}~\biggr|_{9}^1\\\\\\ \dfrac{x^2}{2}-2x~\biggr|_{-1}^3-\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{3}~\biggr|_{9}^1[/tex]
Aplique os limites de integração
[tex]\dfrac{3^2}{2}-2\cdot3-\left(\dfrac{(-1)^2}{2}-2\cdot(-1)\right)-\left(\dfrac{1^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{9^{\frac{3}{2}}}{3}\right)[/tex]
Calcule as potências, multiplique e some os valores
[tex]\dfrac{9}{2}-6-\left(\dfrac{1}{2}+2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-9\right)\\\\\\ \dfrac{9}{2}-6-\dfrac{1}{2}-2-\dfrac{1}{3}+9\\\\\\\dfrac{14}{3}~\bold{u.~a}~~ \checkmark[/tex]
Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.
