O primeiro termo é igual 1, o segundo termo é igual a 3, e o terceiro termo é igual 9.
Para resolvermos essa questão, devemos aprender o que é uma progressão geométrica.
O que é uma progressão geométrica?
Uma PG é uma sequência numérica onde a razão entre dois números em sequência é sempre a mesma e é denominada razão da PG. Assim, podemos obter o próximo elemento na sequência multiplicando o elemento atual por essa razão, ou obter o elemento anterior ao dividir o elemento atual por essa razão.
Com isso, foi informado que para três elementos em sequência em uma PG, a sua soma vale 13 e a sua multiplicação vale 27.
Assim, supondo que o primeiro termo seja x, e que a razão da PG seja r, temos que o próximo termo é igual a xr, enquanto o terceiro termo na sequência é igual a xr².
Então, temos que x + xr + xr² = 13, e que x*xr*xr² = 27.
Com isso, a partir da primeira equação, podemos colocar x em evidência, obtendo x(1 + r + r²) = 13.
A partir da segunda equação, realizando a multiplicação dos termos, obtemos que x³*r³ = 27, ou (xr)³ = 27. Extraindo a raiz cúbica de ambos os lados, temos que xr = ∛27, ou xr = 3. Portanto, r = 3/x.
Substituindo o valor de r na primeira equação, obtemos que x(1 + 3/x + (3/x)²) = 13. Com isso, x + 3 + 9/x = 13. Multiplicando todos os termos por x, obtemos a equação quadrática x² + 3x + 9 = 13x. Agrupando os termos, obtemos x² - 10x + 9 = 0.
Utilizando a fórmula de Bhaskara, com os coeficientes a = 1, b = -10, c = 9, obtemos que os valores de x que satisfazem a equação são x = 1 e x = 9.
Como r = 3/x, temos que os valores possíveis de r são r = 3/9 = 1/3 e r = 3/1. Como a PG é crescente, devemos desconsiderar o valor de r menor que 1, obtendo que a razão r da PG é r = 3.
Então, obtemos que o primeiro termo da PG é x = 1, que o segundo termo é igual a x*r = 1*3 = 3, e que o terceiro termo é igual a x*r² = 1*3² = 1*9 = 9.
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