Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Pois bem Meu Caro, o conceito de otimização é bem simples comparado a modelagem do exercício.
Agora, seria bom que seus conceitos sobre funções estivessem bem fixados para que o entendimento seja o mais claro possível.
Taxa de Otimização é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a conhecer os máximos e mínimos de uma função sem que tenhamos que "plotá-la" num gráfico. Veja que no problema, o fabricante quer saber a dimensão do lado da caixa para ter o MÁXIMO volume possível, e como o volume varia em função de x, temos uma função V(x).
Neste caso o exercício nos traz um problema de modelagem que é aplicação da matemática em um problema da vida cotidiana.
[tex]V(x)= A_b(x)*x\\A_b(x)= a*b[/tex]
E, a e b variam de acordo com x, Vide Anexo. Essa talvez seja a parte mais complexa do problema.
Após isso meu Caro é só aplicar a [tex]\frac{dV(x)}{dx}=0[/tex] e você encontrará os pontos em x para quando a função V(x) tem máximos e mínimos.
Você encontrará dois valores um de Máximo e um de mínimo.
Não seria necessário mas eu anexei os gráficos de V(x) e [tex]\frac{dV(x)}{dx}[/tex] .
Observe os Gráficos: a função verde é V(x) e a cinza é [tex]\frac{dV(x)}{dx}[/tex].
Os pontos C e D são o máximo e o mínimo de V(x) respectivamente.
E os pontos B e A são as raízes de [tex]\frac{dV(x)}{dx}[/tex] , ou seja,[tex]\frac{dV(x)}{dx}=0[/tex] .
Valor dos pontos:
A= 6,37 ===> x para quando o volume é negativo.
B= 1,96
C= 66,01
D= -19,72 ====> valor do volume negativo.
A resposta da questão seria:
O lado caixa, ou seja, o valor de x para o máximo volume é de 1,96 u.c (unidades de comprimento). O outro ponto não serve pois o valor do volume seria negativo e isso na vida real, não existe.
Obtendo-se assim um volume máximo de 66,01 u.v (unidades de volume), para as características da caixa desejada pelo fabricante.
