Para que uma matriz seja inversível, seu determinante deve ser diferente de zero.
Sendo assim:
[tex]A=\left[\begin{array}{ccc}p&6&p\\0&1&1\\1&4&p\end{array}\right][/tex]
[tex]\boxed{\exists A^{-1}\iff\ \det{A}\neq 0}[/tex]
[tex]\det{A}\neq0\ \therefore\ \left|\begin{array}{ccc}p&6&p\\0&1&1\\1&4&p\end{array}\right|\neq0\ \therefore[/tex]
[tex]p^2+6-p-4p\neq0\ \therefore\ \boxed{p^2-5p+6\neq0}[/tex]
Utilizando o Fórmula Quadrática de Brahmagupta, podemos encontrar os valores para os quais [tex]p\neq 0[/tex]:
[tex]p\neq\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \therefore\ p\neq\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4(1)6)}}{2(1)}\ \therefore[/tex]
[tex]p\neq\dfrac{5\pm1}{2}\ \therefore\ \boxed{p\neq3}\ \text{e}\ \boxed{p\neq2}[/tex]
Dessa forma, os valores de [tex]p[/tex] que tornam [tex]A[/tex] inversível são todos os números reais exceto 2 e 3.
[tex]\boxed{p=\left\{p\in\mathbb{R}\ |\ p\neq2,\ p\neq3 \right\}}[/tex]
