Resposta:
b) S = { 3 ; - 19 }
d) S = { 21 }
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
Resolva as equações irracionais:
b) [tex]\sqrt[3]{\sqrt{2x^{2} +7}+x } =2[/tex]
d) [tex]\sqrt[3]{\sqrt{3x+1} } =2[/tex]
Resolução:
b) [tex]\sqrt[3]{\sqrt{2x^{2} +7}+x } =2[/tex]
Observação 1 → Elevar ambos os membros ao cubo para desembaraçar da raiz cúbica
[tex](\sqrt[3]{\sqrt{2x^{2} +7}+x })^3 =2^3[/tex]
⇔
[tex]\sqrt{2x^{2} +7} +x=8[/tex]
Isolar o radical no primeiro membro.
⇔
[tex]\sqrt{2x^{2} +7} =- x+ 8[/tex]
Repetir o uso da Observação 1 , agora elevando , ao quadrado ,ambos o membros da equação .
[tex](\sqrt{2x^{2} +7} )^2= (- x+ 8)^2[/tex]
⇔
[tex]2x^{2} +7 = x^{2} -16x+64[/tex]
⇔
[tex]2x^{2}-x^{2} +16x +7-64 = 0[/tex]
⇔
[tex]x^{2}+16x -57 = 0[/tex]
⇔
Observação 2 → Pode-se resolver diretamente usando uma forma de apresentar as equações do 2º grau em função da soma e do produto das suas raízes.
[tex]x^{2} -Sx+P=0[/tex]
S → soma das raízes
P → produto das raízes
[tex]x^{2}-(-16)x -57 = 0[/tex]
" - 16" será a soma das raízes
" - 57" será o produto
As raízes serão 3 e - 19
-----------------------------------------------------------
Verificação de cada uma das raízes
x = 3
[tex]\sqrt[3]{\sqrt{2*3^{2} +7}+3 } =2[/tex]
⇔
[tex]\sqrt[3]{\sqrt{25}+3 } =2[/tex]
⇔
[tex]\sqrt[3]{8 } =2[/tex]
⇔
2 = 2 verificada ; x = 3 é raiz da expressão inicial da equação
x = - 19
[tex]\sqrt[3]{\sqrt{2*(-19)^{2} +7}-19 } =2[/tex]
⇔
[tex]\sqrt[3]{\sqrt{2*(-19)^{2} +7}-19 } =2[/tex] 729
⇔
[tex]\sqrt[3]{\sqrt{729}-19 } =2[/tex]
⇔
[tex]\sqrt[3]{27-19} } =2[/tex]
⇔
[tex]\sqrt[3]{8 } =2[/tex] verificada ; x = -19 é raiz da expressão inicial da equação
--------------------------------------------------------------
d) [tex]\sqrt[3]{\sqrt{3x+1} } =2[/tex]
Observação 3 → Quando temos radical de radical, passamos para um único radical cujo índice é o produtos dos índices
⇔
Repetir o uso da Observação 1 , agora elevando , a 6 ,ambos o membros da equação .
[tex](\sqrt[6]{3x+1})^6=2^6[/tex]
⇔
[tex]3x+1=64[/tex]
⇔
[tex]3x=63[/tex]
⇔
x = 21
------------------------------------------
Verificação de raiz encontrada
[tex]\sqrt[3]{\sqrt{3*21+1} } =2[/tex]
[tex]\sqrt[6]{64} =2[/tex]
2 =2 verificado; 21 é solução desta equação
Bom estudo.
