Olá, boa noite.
Devemos calcular o valor do seguinte limite:
[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x}-2}{x^2-6x+8}[/tex]
Multiplique a fração por um fator [tex]\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x^2-6x+8}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}[/tex]
Aplique a propriedade do produto da soma pela diferença: [tex](a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{x-2}{(x^2-6x+8)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}[/tex]
Fatore a expressão quadrática no denominador: [tex]x^2-6x+8=(x-2)\cdot(x-4)[/tex]
[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{x-2}{(x-2)\cdot(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}[/tex]
Simplifique a fração por um fator [tex]x-2[/tex].
[tex]\underset{x\rightarrow2}{\lim}~\dfrac{1}{(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}[/tex]
Lembre-se que:
- O limite de uma função racional [tex]\dfrac{f(x)}{g(x)}[/tex], em que [tex]f(x),~g(x)[/tex] são contínuas pode ser calculado pela propriedade: [tex]\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)}[/tex].
- O limite de uma constante é igual a própria constante.
- O limite de um produto de funções [tex]f(x)\cdot g(x)[/tex], em que [tex]f(x),~g(x)[/tex] são contínuas pode ser calculado pela propriedade: [tex]\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)\cdot g(x)=\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)\cdot \underset{x\rightarrow c}{\lim}~g(x)[/tex].
- O limite de uma função contínua é igual ao valor da função no ponto: [tex]\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)[/tex].
Assim, teremos:
[tex]\dfrac{\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~1}{\underset{x\rightarrow 2}{\lim}~(x-4)\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{2})}[/tex].
Aplique a propriedade da constante e do produto
[tex]\dfrac{1}{\underset{x\rightarrow2}{\lim}~(x-4)\cdot\underset{x\rightarrow2}{\lim}~(\sqrt{x}+\sqrt{2})}[/tex]
Calcule o limite das funções
[tex]\dfrac{1}{(2-4)\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{2})}[/tex]
Some e multiplique os valores
[tex]\dfrac{1}{(-2)\cdot2\sqrt{2}}\\\\\\ -\dfrac{1}{4\sqrt{2}}~~\checkmark[/tex]
Este é o resultado deste limite.
