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⠀⠀☞ Cada percurso do jovem Zeno, que percorre metade da distância a cada etapa, obedece uma progressão geométrica de razão 1/2, o que nos permite encontrar uma equação que relaciona a distância total percorrida ao final de cada etapa pelo número daquela etapa através da equação para soma de uma P.G., o que nos leva à opção a). ✅
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⠀⠀ Na primeira etapa o jovem Zeno percorre:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf 1 \div 2 = \dfrac{1}{2}$}}[/tex]
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⠀⠀ Na segunda etapa o jovem Zeno percorre:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) \div 2$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \left(\dfrac{2}{2} - \dfrac{1}{2}\right) \div 2$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{1}{2} \div 2$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{1}{4}$}}[/tex]
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⠀⠀ Na terceira etapa o jovem Zeno percorre:
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf \left(1 - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right)\right) \div 2$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \left(\dfrac{4}{4} - \left(\dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4}\right)\right) \div 2$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \left(\dfrac{4}{4} - \dfrac{3}{4}\right) \div 2$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{1}{4} \div 2$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2}$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf = \dfrac{1}{8}$}}[/tex]
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⠀⠀Ao seguirmos analisando o percurso de Zeno a cada etapa observaremos o seguinte padrão:
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[tex]\blue{\sf\Large\begin{cases}\text{$\sf~1)~~\dfrac{1}{2}$}\\\\ \text{$\sf~2)~~\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2}$}\\\\\text{$\sf~3)~~\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3}$}\\\\ \text{$\sf~[...]$} \\\\ \text{$\sf~n)~~\dfrac{1}{2^n}$}\\\\\end{cases}}[/tex]
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⠀⠀A relação de seu percurso com a etapa n se dá através de um progressão geométrica de razão = 1/2. Desta forma, para encontrarmos a soma da distância total percorrida por Zeno basta utilizarmos a equação da soma de n termos de uma P.G., que é da forma:
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[tex]\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{\rm S_n = a_1 \cdot \dfrac{(q^{n} - 1)}{q - 1} } & \\ & & \\ \end{array}}}}}[/tex]
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[tex]\text{\pink{$\Longrightarrow$}~\Large\sf\orange{$\sf a_1$}}[/tex] sendo o primeiro termo da p.g.;
[tex]\text{\pink{$\Longrightarrow$}~\Large\sf\orange{$\sf n$}}[/tex] sendo é a posição do termo na p.g.;
[tex]\text{\pink{$\Longrightarrow$}~\Large\sf\orange{$\sf q$}}[/tex] sendo a razão da p.g.;
[tex]\text{\pink{$\Longrightarrow$}~\Large\sf\orange{$\sf S_n$}}[/tex] sendo a soma dos n primeiros termos da P.G.
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf S_n = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(1 / 2^n) - 1}{(1 / 2) - 1}$}}[/tex]
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[tex]\Large\blue{\text{$\sf S_n = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{(1 / 2) - 1} \cdot \left(\dfrac{1}{2^n} - 1\right)$}}[/tex]
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[tex]\Large\blue{\text{$\sf S_n = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{(-1 / 2)} \cdot \left(\dfrac{1}{2^n} - \dfrac{2^n}{2^n}\right)$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf S_n = \dfrac{1}{2} \cdot (-2) \cdot \left(\dfrac{1 - 2^n}{2^n}\right)$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf S_n = \dfrac{-2}{2} \cdot \left(\dfrac{1 - 2^n}{2^n}\right)$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf S_n = (-1) \cdot \left(\dfrac{1 - 2^n}{2^n}\right)$}}[/tex]
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[tex]\LARGE\blue{\text{$\sf S_n = \dfrac{2^n - 1}{2^n}$}}[/tex]
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[tex]\Huge\green{\boxed{\rm~~~\red{a)}~\blue{ \dfrac{2^n - 1}{2^n} }~~~}}[/tex] ✅
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}[/tex]✍
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[tex]\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}[/tex]☁
⠀⠀⠀⠀☕ [tex]\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}[/tex]
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([tex]\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}[/tex]) ☄
[tex]\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX[/tex]✍
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[tex]\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}[/tex]
